Dependência de Matemática- 2º ano E.M.- 4º bimestre

OBS:

·         TRABALHO ESCRITO À MÃO

·         EM FOLHA DE PAPEL ALMAÇO

·         DEVERÁ CONTER PARTE TEÓRICA (PESQUISA) –valor 4,0

·         DEVERÁ CONTER FIGURAS ILUSTRATIVAS DO CONTEÚDO – valor 1,0

·         EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.- valor 5,0

4º bimestre

I. Geometria métrica espacial (PESQUISAR SOBRE TODOS OS ITENS ABAIXO,NÃO DEIXE DE COLOCAR FIGURAS)

• Poliedro
• Relação de Euler
• Poliedros regulares
• Prismas
• Cubo
• Área  do cubo e volume do cubo
• Paralelepípedo Retângulo
• Área do Paralelepípedo Retângulo e volume do Paralelepípedo Retângulo
• Pirâmide
• Pirâmide de base quadrangular
• Área e volume da Pirâmide de base quadrangular
• Pirâmide de base hexagonal
• Área e volume da Pirâmide de base hexagonal

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1)Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. 

              De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

2)Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6

Vértices: 8

Arestas: 12 

•  F + V = A + 2
   A = V + 6
  F + V = V + 6 + 2
  F + V – V = 8
  F = 8
  O poliedro possui 8 faces.
• 3) Um prisma de base quadrangular possui volume igual a 192 cm³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base. 
  
  
  
  Solução: 
  
  
  Aresta da base: x cm
  Altura: 3x cm
  Volume: 192
  V = x . x . 3x
  3x³ = 192
  x³ = 192/3
  x³ = 64
  x = 4
  Altura: 3 . 4 = 12 cm
  A altura do prisma de base é correspondente a 121 cm.
  
  

  4) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total. 
  
  
  
  Solução:
  

  
  

  No triângulo isósceles a altura também é mediana. 
  
  
  

  i) Pela relação de Pitágoras temos: 
  
  logo a = 5cm
  
  ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
  iii) A altura do prisma vale 
  1/3 x 18 = 6cm
  iv) área total
  Ab = 8 x 3 /2 = 12cm²
  Al = (8x6)+2 x (5x6) = 108cm²
  At= 2x 12 + 108= 132cm²

  
  

  5) Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:

  
  

  

  
  a) a área de uma face lateral.
  b) a área lateral.
  c) a área total.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Solução:
  
  a) Af = (6.10) cm²
      Af = 60 cm²
  
  b) A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:
  
  AL = 3 . Af
  AL = 3 . 60 cm²
  AL = 180 cm²
  
  c) A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:
  
  At = AL + 2B
  At = (180 + 18 √3) cm²

  
  

  6) Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:
  
  

  

  
  a) a área de cada face lateral;
  b) a área de uma base;
  c) a área lateral;
  d) a área total;
  
  
  
  
  
  Solução:
  
  
  a) Af = b . h
      Af = 4 .8
      Af = 32 dm²
  
  b) Ab = (6.10 √3) / 4
      Ab = 24 √3 dm²
  
  c) AL = 6.4.8
     AL = 192 dm²
  
  d) At = 2.24 √3 +192
      At = 48 √3 + 192 dm²
• 7)A área total de um cubo é 54 cm². Qual a medida da diagonal desse cubo?
  At= 6a²
  54 = 6a²
  54 /6 = a²
  a = √9
  a =3 cm
  dc = a√3
  dc = 3√3cm
  Assim, o cubo de área 54 cm², possui diagonal de 3√3cm
  
  
  8)Se a diagonal de um cubo mede √75 cm, qual a área total desse cubo?
  Para calcular a diagonal do cubo, utilizamos:
  d = a√3
  √75 = a√3 (fatorar o 75 que está dentro da raiz)
  5√3 = a√3
  a = (5√3) / √3
  a = 5 cm
  At = 6a²
  At = 6 x 5²
  At = 150 cm²
  Logo, a área total do cubo de diagonal √75 cm é de 150 cm².
  9)Se a soma das arestas de um cubo é 84 cm, qual o volume do cubo?
  Primeiramente, é importante lembrar que o cubo possui 12 arestas, e que o volume é dado em centímetros cúbicos, logo:
  84 cm/12 = 7
  V = 73
  V = 343 cm3
  Portanto, o volume do cubo de arestas de 84 cm, é de 343 cm3.
• 10) Qual o volume de concreto utilizado na construção de uma laje de 80 centímetros de espessura em uma sala com medidas iguais a 4 metros de largura e 6 metros de comprimento?  
• 
• 11) Uma caixa de papelão será fabricada por uma indústria com as seguintes medidas: 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 15 cm de altura. Essa caixa irá armazenar doces na forma de um prisma com as dimensões medindo 8 cm de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura. Qual o número de doces necessários para o preenchimento total da caixa fabricada? 
• Volume da caixa
  V = 40 * 20 * 15
  V = 12000 cm³
  Volume do doce
  V = 8 * 4 * 3
  V = 96 cm³
  Número total de doces armazenados na caixa
  12000 / 96 = 125
  
  
  Serão armazenadas 125 barras de doces na caixa com as dimensões fornecidas. 
• 
  

DEPENDÊNCIA MATEMÁTICA 2º ANO EM- 3º BIMESTRE

·         TRABALHO ESCRITO À MÃO

·         EM FOLHA DE PAPEL ALMAÇO

·         DEVERÁ CONTER PARTE TEÓRICA (PESQUISA) 

·         DEVERÁ CONTER FIGURAS ILUSTRATIVAS DO CONTEÚDO 

·         EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.

I. Análise combinatória

• Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem
• Fatorial
• Arranjos simples
• Combinação simples
• Permutação simples
• Permutação com elementos repetidos

II . Probabilidade

• Espaço amostral
• Evento
• Cálculo da probabilidade

III. Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?

Resp:Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma temos que:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 . 120 = 240. Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras.

2)(Unifor–CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

Resp: Os pais deverão ocupar os extremos:

P ____ ____  ____ ____ M  ou M ____ ____ ____ ____ P

2 ..P4 = 2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 48 maneiras

3) (UFJF–MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais  Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:

Resp: 4 livros de Geometria = P4                                        
2 livros de Álgebra = P2
3 livros de Análise = P3

P4 . P2 . P3 . P3 = 4! . 2! . 3!

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
2! = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6

P4 . P2 . P3 . P3 = 24 . 2 . 6 . 6
P4 . P2 . P3 . P3 = 1728 maneiras

4) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?

Resp: O produto C_6, 3 . C_4, 2 = 20 . 6 = 120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato e 2 itens de proteína.

Já o produto C_6, 2 . C_4, 3 = 15 . 4 = 60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato e 3 itens de proteína.

Por fim o produto C_6, 1 . C_4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de carboidrato e 4 itens de proteína.

Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.

Portanto:

O número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois itens de proteína, é igual a 186 pratos.

5) Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente?

Resp: Estamos trabalhando com combinação simples, pois não importa a ordem de preenchimento dos recipientes. No caso dos doces vamos calcular C_8, 3:

Já no caso dos salgados vamos calcular C_7, 2:

O número total de combinações será então o produto de 56 por 21:

Logo:

São 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente.

6) Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira?

Como temos três tipos de calçados, a permutação destes três tipos é igual a 6:

P₃ = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Ou seja, estando todos os calçados de um mesmo tipo juntos, o número de permutações é igual a 6, levando-se em consideração apenas o tipo de calçado, mas não o calçado em si.

Para os sapatos, temos 3 deles, que permutados entre si resulta em 6 permutações:

P₃ = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Para os chinelos, temos 2 pares, que permutados entre si resulta em 2 permutações:

P₂ = 2! = 2 . 1 = 2

Finalmente para os tênis, temos 5 pares, que permutados entre si resulta em 120 permutações:

P₅ = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Multiplicando estes quatro números temos:

P₃ . P₃ . P₂ . P₅ = 3! . 3! . 2! . 5! = 6 . 6 . 2 . 120 = 8640

As disposições possíveis são 8640.

7) Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre quantos possíveis?

Resp: Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possíveis.

Quando temos 2 dados, cada um dos 6 resultados possíveis de um dos dados, pode ser combinado com cada um dos 6resultados possíveis do outro dado, resultando então em 36 resultados possíveis.

Como temos 3 dados, as 36 possibilidades combinadas dos outros 2 dados, combinadas às 6 possibilidades do terceiro dado resultarão em 216 resultados.

Em outras palavras, pelo princípio multiplicativo temos:

6 . 6 . 6 = 216

Logo:

Obteremos um agrupamento dentre os 216 possíveis.

8) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?

Resp: Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-se 11, para a terceira tem-se 10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:

12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800

9) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Resp: o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

10) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

Resp: Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.

Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a ¹/₄, ou 0,25, ou ainda 25%.

11) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Resp: Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.

Então:

A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

12) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

Resp: Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula  e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.

Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas.

Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.

O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a ^7/₁₄:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a ^2/₁₄:

A probabilidade de ela ser verde ou amarela é ⁹/₁₄.

TRIÂNGULO DE PASCAL

DEPENDÊNCIA- 2º ANO EM-

ATENÇÃO ALUNOS DO  3º ANO  NÃO DEIXEM PARA ÚLTIMA HORA OS TRABALHOS DE DEPENDÊNCIAS REFERENTES AO ANO PASSADO.
ATENÇÃO PARA AS DATAS.

1º BIMESTRE - entregar até  03 DE ABRIL DE 2015
2ºBIMESTRE-  entregar até 09 DE JUNHO DE 2015
3ºBIMESTRE - entregar até 02 DE SETEMBRO DE  2015
4º BIMESTRE - entregar até 05 DE NOVEMBRO DE 2015.

OBS:

·         TRABALHO ESCRITO À MÃO

·         EM FOLHA DE PAPEL ALMAÇO

·         DEVERÁ CONTER PARTE TEÓRICA (PESQUISA) 

·         DEVERÁ CONTER FIGURAS ILUSTRATIVAS DO CONTEÚDO 

·         EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.

1º BIMESTRE

I. Trigonometria

• Circunferência trigonométrica
• Grau e radiano
• Arcos côngruos
• Seno
• Gráfico da função seno
• Cosseno
• Gráfico da função cosseno
• Tangente
• Gráfico da função tangente
• Cotangente
• Secante
• Cossecante
• Relações trigonométricas

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Qual a medida, em graus, do ângulo de 1 radiano? Qual a medida, em radianos, do ângulo de 1 grau.

Logo, . Portanto, 1 radiano corresponde a aproximadamente 57^o.

O raio r é unitário; tem 1 umc. O comprimento do arco AB é 1 umc. O ângulo  tem 1 radiano. O arco AB tem 1 radiano.

 ou seja, 1^o corresponde a aproximadamente a 0,017 rad.

2) Calcule em radianos: 30^o, 60^o, 75^o, -120°, 136°, 1360°, -1360°. 
Quando a = 30º, temos 
Quando a = 60º, temos 
Quando a = 75º, temos 
Quando a = -120º, temos 
Quando a = 136º, temos 
Quando a = 1360º, temos 
Quando a = -1360º, temos 

3) Calcule em graus:
3 rad,  rad, rad,  rad, 8 rad.
Quando x=3 rad, temos 
Quando x= rad, temos 
Quando x= rad, temos 
Quando x= rad, temos 
Quando x=8 rad, temos 

4) Calcule qual a medida em radianos do ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 13h 15min.

O ponteiro das horas: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, se desloca30º =  rad.
Então, em 15 min, o ponteiro das horas se desloca  rad.
O ponteiro dos minutos: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, se desloca
360º = 2 rad.
Então, em 15 min, o ponteiro dos minutos se desloca 90^o =  rad.
Portanto, em radianos, o ângulo  procurado é:

⁵⁾ Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida: A= 810°

Para o arco de 810° devemos obter quantas voltas completas este arco tem pois 810°>360°. Dividindo 810 por 360, obteremos:

810 90		360 2

Este resultado significa que precisaremos dar duas voltas completas e mais 90° para completarmos o arco de 810°. Assim a primeira determinação positiva será 90°.

OBS:

·         TRABALHO ESCRITO À MÃO

·         EM FOLHA DE PAPEL ALMAÇO

·         DEVERÁ CONTER PARTE TEÓRICA (PESQUISA) –valor 4,0

·         EXERCÍCIOS RESOLVIDOS(FOLHAS EM ANEXO).- valor 6,0

2º BIMESTRE

I. Matrizes

• Definição
• Representação genérica de uma matriz
• Matriz quadrada
• Matriz diagonal
• Matriz identidade
• Igualdade de matrizes
• Adição de matrizes
• Subtração de matrizes
• Multiplicação de um número real por uma matriz
• Multiplicação de matriz

II.Determinantes

• Definição
• Determinante de matriz quadrada de ordem 1
• Determinante de matriz quadrada de ordem 2
• Determinante de matriz quadrada de ordem 3

III.Sistemas lineares

• Sistemas lineares 2 x 2
• Sistemas lineares 3 x 3
• Regra de Cramer

 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.


02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e A^tsua transposta, determine A, tal que A = 2 . A^t.


03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A^T e é dita anti-simétrica se A^T = -A, onde A^T é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:

(01) A + A^T é uma matriz simétrica
(02) A - A^T é uma matriz anti-simétrica


04. Se uma matriz quadrada A é tal que A^t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:

Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:

a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4
 

a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n


06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela:

	Camisa A	Camisa B	Camisa C
Botões p	3	1	3
Botões G	6	5	5

O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:

	Maio	Junho
Camisa A	100	50
Camisa B	50	100
Camisa C	50	50

Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.
 

07. Sobre as sentenças:

I.   O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.
II.  O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2

É verdade que:

a) somente I é falsa;
b) somente II é falsa;
c) somente III é falsa;
d) somente I e III são falsas;
e) I, II e III são falsas.


08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:

a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

 
a) 3
b) 14
c) 39
d) 84
e) 258


10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

a) (A = B) . C = A . C + B . Cb) (A + B)^t = A^t + B^t

c) (A . B)^t = A^t . B^t

d) (A - B)C = AC - BC

e) (A^t)^t = A

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